Algora nació en el Observatorio Astronómico de Madrid, donde su padre trabajaba de portero. A los 13 años dejó el colegio y entró de botones en una distribuidora de películas, movido por la vocación que le despertó Cómicos, de Juan Antonio Bardem. Desempeñó varios oficios para costearse los estudios e ingresar en el Teatro Estudio de Madrid. Su debut en la escena vino de la mano de Carlos Lemos.
En 1968 se unió a Los Goliardos y al Teatro Experimental Independiente en el Pequeño Teatro del TEI. Sobre las tablas llegó a trabajar con directores como Ángel Facio, William Layton, José Carlos Plaza, Miguel Narros, José Luis Alonso Mañés y Lluís Pascual, entre otros. En 1971 llegó al cine y la televisión bajo la dirección, respectivamente, de José María Forqué en La cera virgen y Miguel Picazo en Crónicas de un pueblo.
En los años siguientes comenzaría a hacerse un hueco como intérprete recurrente en el cine de destape, en películas como La viuda andaluza y Tocata y fuga de Lolita (que le valió la Medalla del Círculo de Escritores Cinematográficos a mejor actor), aunque sería su papel de El Fraile en la serie Curro Jiménez el que más ayudaría a formar esa imagen de pícaro que le acompañó durante años.
En sus más de cuatro décadas de carrera trabajó con directores de la talla de Gutiérrez Aragón, Berlanga, Camus, Aranda, Saura, Mercero, Bardem, Fernán Gómez, Betriu, Lazaga, Sacristán, Giménez Rico, Forges, Iborra, León de Aranoa y Garci, con quien colaboró en seis ocasiones.
Actor y poeta
A lo largo de su carrera, Algora ganó también el Premio de la Unión de Actores y el Sant Jordi a mejor actor secundario por su trabajo en Barrio, que le valió además una nominación a los Goya. En 2002 fue reconocido además con el Premio Pepe Isbert por su aportación al cine.
En 1984 se apartó del teatro y en 1991 se trasladó a Cádiz, instalándose en Vejer de la Frontera. En 2004 publicó la obra teatral Me llamo Jonás, prologadao por Fernando Fernán Gómez. Cinco años más tarde inició su colaboración con el colectivo Atrapasueños, en el proyecto Poesía Viva, que pretende llevar la poesía a los más diversos espacios y recuperar autores como Blas de Otero, Miguel Hernández y León Felipe, entre otros.
En su faceta como poeta publicó en 2009 el poemario Romance de locos, coplas de ciego, y en 2013, Romances de convalecencia, resistencia y esperanza, dedicado a «cómicos maravillosos e irrepetibles que me enseñaron a ejercer este bendito oficio desde el amor» como Fernán Gómez, Paco Rabal, Fernando Rey y Rafael Alonso.
En 2009 regresó a las tablas de la mano de Bruno Boëglin con el montaje de Koltès voayage, estrenado en Lyon. Sus últimas apariciones en la gran pantalla fueron La luna en botella, Sangre de mayo y Un ajuste de cuentas.
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