Nacido en Madrid en 1955, Anaut cursó estudios de Sociología, Ciencias Políticas y Ciencias de la Información, abandonando las tres carreras sin finalizar para ejercer el periodismo. Comenzó a trabajar a los 19 años en la revista Actualidad Económica. Durante 10 años se especializó en periodismo económico. Fundó la revista Mercado y, tras un periodo de dos años en Diario 16, la dirigió de 1983 a 1988. En 1988 se incorporó a El País como redactor jefe de El País Semanal, hasta que en 1993 fue nombrado subdirector del periódico. Dimitió un año más tarde para preparar el lanzamiento de Matador.
Matador [1] es un proyecto único y finito, una revista increíble que nació en 1995 con la letra A y que terminará este año con la letra Z. Artistas, escritores, diseñadores y fotógrafos de primera fila emprenden en cada número una aventura creativa especialmente concebida para la revista: explorar las dimensiones de un tema, que siempre va más allá, que se enfrenta a una sensación, una idea, una obsesión.
Anaut volvió brevemente al periodismo activo como director de un dominical hoy mítico, La Revista de El Mundo (1995-1997).
Convencido del papel de la iniciativa privada para atraer a nuevos públicos a la cultura –en un momento en el que muy pocos apostaban por ello–, en 1994 fundó La Fábrica, una dinámica empresa de gestión cultural que ha apoyado centros de arte, proyectos de conservación del patrimonio y festivales de prestigio internacional.
Anaut era presidente de La Fábrica y del Club Matador.